Solusi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA Tingkat Nasional Tahun 2002 – Soal 1

Soal 1. Buktikan bahwa n^4-n^2 habis dibagi oleh 12 untuk sebarang bilangan bulat n>1

Solusi. Perhatikan bahwa

n^4-n^2=n^2(n^2-1)

n^4-n^2=n^2(n-1)(n+1)

n^4-n^2=(n-1)n(n+1)n

n-1, n, dan n+1 adalah 3 bilangan berurutan sehingga (n-1)n(n+1) habis dibagi oleh 3!=6. Jadi, n^4-n^2 habis dibagi oleh 6 sehingga n^4-n^2 juga habis dibagi oleh 2 dan 3.

Jika n adalah bilangan genap, maka n=2k untuk sebarang bilangan bulat k. Perhatikan bahwa n^2=(2k)^2=4k^2. Jadi, n^2 habis dibagi 4 sehingga n^4-n^2 habis dibagi 4.

Jika n adalah bilangan ganjil, maka n=2k+1 untuk sebarang bilangan bulat k. Perhatikan bahwa n^2-1=(2k+1)^2-1=(4k^2+4k+1)-1=4k^2+4k. Jadi, n^2-1 habis dibagi 4 sehingga n^4-n^2 habis dibagi 4.

Karena n^4-n^2 habis dibagi oleh 3 dan 4, serta 3 dan 4 relatif prima, maka n^4-n^2 habis dibagi oleh 3 \cdot 4=12

Advertisements