Solusi Olimpiade Sains Nasional Matematika SMA Tingkat Nasional Tahun 2002 – Soal 3

Soal 3. Tentukan semua solusi dari sistem persamaan

x+y+z=6

x^2+y^2+z^2=12

x^3+y^3+z^3=24

Solusi. Perhatikan bahwa

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = (x^2-4x+4) + (y^2-4y+4) + (z^2-4z+4)

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = x^2+y^2+z^2 - 4(x+y+z) + 12

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 12 - 4(6) + 12

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 12 - 24 + 12

(x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 0

Kita tahu bahwa (x-2)^2 , (y-2)^2 , (z-2)^2 merupakan bilangan kuadrat sehingga (x-2)^2 , (y-2)^2 , (z-2)^2 \geq 0. Karena (x-2)^2 + (y-2)^2 + (z-2)^2 = 0, maka persamaan tersebut terpenuhi jika (x-2) = (y-2) = (z-2) = 0 sehingga x = y = z = 2.

Setelah disubstitusikan ke dalam persamaan, nilai x,y,z tersebut memenuhi.

Jadi, semua solusi yang memenuhi sistem persamaan tersebut adalah x = y = z = 2.

Advertisements

Leave a comment

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s