Soal Olimpiade Sains Kabupaten/Kota Matematika SMA Tahun 2002

BAGIAN PERTAMA

Soal 1Bilangan \dfrac{(2^4)^8}{(4^8)^2} sama dengan …

a.  \dfrac{1}{4}

b.  \dfrac{1}{2}

c.  1
d.  2
e.  8

Soal 2. Bando selalu berkata bohong. Suatu hari dia berkata kepada tetangganya, Andi, “paling tidak salah satu di antara kita tidak pernah berbohong”. Berdasarkan informasi tersebut, kita merasa pasti bahwa …
a.  Andi selalu berbohong
b.  Andi sesekali berbohong
c.  Andi selalu berkata benar
d.  Andi sesekali berkata benar
e.  Andi tidak pernah berkata apa pun

Soal 3. Bilangan n terbesar sehingga 8^n membagi 44^{44} adalah …
a.  8
b.  22
c.  29
d.  44
e.  88

Soal 4. Pernyataan manakah yang benar?
a.  Jika x<0 , maka x^2>x
b.  Jika x^2>0 , maka x>0
c.  Jika x^2>x , maka x>0
d.  Jika x^2>x , maka x<0
e.  Jika x<1 , maka x^2<x

Soal 5. Misalkan x^{-n}=\left(\dfrac{1}{x}\right)^n untuk setiap bilangan real x, maka a^3-a^{-3} sama dengan …

a.  \left(a-\dfrac{1}{a}\right) \left(a^2+1+\dfrac{1}{a^2}\right)

b.  \left(\dfrac{1}{a}-a\right) \left(a^2-1+\dfrac{1}{a^2}\right)

c.  \left(a-\dfrac{1}{a}\right) \left(a^2-2+\dfrac{1}{a^2}\right)

d.  \left(\dfrac{1}{a}-a\right) \left(\dfrac{1}{a^2}+1+a^2\right)

e.  Bukan di antara A, B, C, dan D

Soal 6. Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam waktu 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola?
a.  2
b.  3
c.  4
d.  5
e.  6

Soal 7. Jika untuk setiap x,y bilangan real berlaku x\$ y=xy-x+y , maka (x+y)\$ (x-y) sama dengan …
a.  x^2-y^2+2x
b.  x^2-y^2-2x
c.  x^2-y^2+2y
d.  x^2-y^2-2y
e.  x^2-y^2

Soal 8. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif (a,b) yang memenuhi \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{6} ?
a.  1
b.  2
c.  3
d.  4
e.  5

Soal 9. Untuk nilai a manakah garis lurus y=6x memotong parabola y=x^2+a tepat di satu titik?
a.  7
b.  8
c.  9
d.  10
e.  11

Soal 10. Digit 1, 9, 9, 8 dalam 1998 mempunyai jumlah total 1 + 9 + 9 + 8 = 27. Bilangan berikutnya yang mempunyai jumlah digit 27 terjadi di antara tahun …
a.  2500 dan 2700
b.  2701 dan 2900
c.  2901 dan 3100
d.  3101 dan 9900
e.  9901 dan 9999


BAGIAN KEDUA

Soal 11Pada suatu segitiga ABC, sudut C tiga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dan BC?

Soal 12. Bando dan Bandi ingin mengecat pagar. Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam waktu 4 jam. Pada pukul 12.00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi, pada suatu ketika, mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menit dan dalam masa itu tidak satu pun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut, Bandi pergi dan Bando menyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14.25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai?

Soal 13. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2^{2002} \cdot 5^{2003} ?

Soal 14Berapa banyak bilangan bulat positif yang kurang dari 10.000 yang berbentuk x^8+y^8 untuk suatu bilangan bulat x>0 dan y>0 ?

Soal 15. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap subhimpunan dari {1, 2, 3, … , 20} yang beranggotakan n unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya 8.

Soal 16. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan AD memotong BC di titik P di antara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD = 12, berapa jauh P dari garis CD?

Soal 17. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga

\dfrac{a}{b}+\dfrac{a+10b}{b+10a}=2

Tentukan nilai \dfrac{a}{b} .

Soal 18. Bilangan bulat positif p\geq 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima di antara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

Soal 19. Misalkan

a=\dfrac{1^2}{1}+\dfrac{2^2}{3}+\dfrac{3^2}{5}+ \cdots +\dfrac{1001^2}{2001}

b=\dfrac{1^2}{3}+\dfrac{2^2}{5}+\dfrac{3^2}{7}+ \cdots +\dfrac{1001^2}{2003}

Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a-b .

Soal 20. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali 2\sqrt{2} mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut?

Advertisements